צלע מול זווית ואי־שוויון המשולשגיאומטריה 471 · שיעור 7

גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות

שיעור 7: צלע מול זווית ואי־שוויון המשולש

פרק 2 · משולשים

1מול הצלע הגדולה – הזווית הגדולה (ולהפך)

2אי־שוויון המשולש והצלע השלישית

35 תרגילים פתורים, כולל תרגיל מורכב

משפט

צלע מול זווית

מול כל זווית במשולש יש צלע: מול ∢A הצלע BC, מול ∢C הצלע AB, מול ∢B הצלע AC

כאן BC היא הצלע הגדולה ← ∢A (שמולה) היא הזווית הגדולה

AC היא הצלע הקטנה ← ∢B (שמולה) היא הזווית הקטנה

📐 משפט: במשולש, מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר – ולהפך

משפט

אי־שוויון המשולש

הדרך הישרה מ־B ל־C קצרה יותר מהדרך שעוברת דרך A

AB + AC > BC

הדרך דרך A ארוכה יותר

📐 משפט: בכל משולש סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית

📐 מסקנה: הצלע השלישית גדולה מההפרש של שתי הצלעות וקטנה מהסכום שלהן

💡 בדיקה מהירה אם אפשר לבנות משולש: מספיק לבדוק ששתי הצלעות הקטנות ביחד גדולות מהצלע הגדולה

תרגיל 1 · מזווית לצלע · קל

במשולש ABC: ∢A = 70 , ∢B = 50
סדרו את הצלעות מהגדולה לקטנה

∢A = 70 , ∢B = 50

נתון

∢C = 180 − 70 − 50 = 60

סכום הזוויות במשולש

∢A > ∢C > ∢B (70 > 60 > 50)

משווים את הזוויות

מול ∢A (הגדולה): BC הכי גדולה

מול הזווית הגדולה – הצלע הגדולה

מול ∢C: הצלע AB באמצע

מול הזווית הגדולה – הצלע הגדולה

מול ∢B (הקטנה): AC הכי קטנה

מול הזווית הגדולה – הצלע הגדולה

✅ פתרון סופי: BC > AB > AC

📐 משפט

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢A + ∢B + ∢C = 180

📐 משפט

במשולש: מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר (ולהפך)

תרגיל 2 · מצלע לזווית · קל

במשולש ABC: AB = 5 , BC = 8 , AC = 6
סדרו את זוויות המשולש מהגדולה לקטנה

AB = 5 , BC = 8 , AC = 6

נתון

BC > AC > AB (8 > 6 > 5)

משווים את הצלעות

מול BC (הגדולה): ∢A הכי גדולה

מול הצלע הגדולה – הזווית הגדולה

מול AC: ∢B באמצע

מול הצלע הגדולה – הזווית הגדולה

מול AB (הקטנה): ∢C הכי קטנה

מול הצלע הגדולה – הזווית הגדולה

✅ פתרון סופי: ∢A > ∢B > ∢C

📐 משפט

במשולש: מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר (ולהפך)

תרגיל 3 · אי־שוויון המשולש · קל

האם אפשר לבנות משולש שאורכי צלעותיו:
א. 3 , 4 , 8 ב. 5 , 7 , 10

א. הצלע הגדולה היא 8. בודקים את שתי הקטנות:

3 + 4 = 7 , 7 < 8

סכום שתי צלעות חייב להיות גדול מהשלישית

אי אפשר לבנות משולש

שתי הצלעות הקצרות לא "נפגשות" (בשרטוט)

ב. הצלע הגדולה היא 10. בודקים את שתי הקטנות:

5 + 7 = 12 , 12 > 10

סכום שתי צלעות גדול מהשלישית

אפשר לבנות משולש

מספיק לבדוק מול הצלע הגדולה

✅ פתרון סופי: א. לא · ב. כן

📐 משפט

אי־שוויון המשולש: סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית

a + b > c

תרגיל 4 · הצלע השלישית · בינוני

במשולש שתי צלעות: 4 ו־9. הצלע השלישית x היא מספר שלם
א. אילו ערכים אפשריים ל־x? ב. המשולש שווה שוקיים – מה x?

9 − 4 < x < 9 + 4

הצלע השלישית בין ההפרש לסכום

5 < x < 13

חישוב

x = 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12

המספרים השלמים בין 5 ל־13 (בלי 5 ובלי 13)

ב. בשווה שוקיים x שווה לאחת הצלעות: x = 4 או x = 9

x = 4 לא אפשרי: 4 + 4 = 8 < 9

סכום שתי צלעות חייב להיות גדול מהשלישית

x = 9 אפשרי: 9 נמצא בין 5 ל־13 ✔

הצלע השלישית בין ההפרש לסכום

✅ פתרון סופי: א. 7 ערכים: 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 · ב. x = 9

📐 מסקנה

צלע שלישית: גדולה מההפרש וקטנה מהסכום

a − b < c < a + b

📐 משפט

אי־שוויון המשולש: סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית

a + b > c

תרגיל 5 · מורכב: איזה קטע ארוך יותר?

במשולש ABC: ∢B = 40 , ∢C = 60. הקטע AD חוצה את ∢A (D על BC)
סדרו את הקטעים BD , AD , DC מהגדול לקטן

∢B = 40 , ∢C = 60 , AD חוצה את ∢A

נתון

∢A = 180 − 40 − 60 = 80

סכום הזוויות במשולש

∢BAD = ∢DAC = 80 : 2 = 40

AD חוצה את ∢A

במשולש ABD: ∢BAD = ∢B = 40 ← AD = BD

שתי זוויות שוות – הצלעות שמולן שוות

∢ADC = 40 + 40 = 80

זווית חיצונית למשולש ABD

במשולש ADC: ∢C = 60 , ∢DAC = 40 , 60 > 40

משווים זוויות במשולש ADC

AD > DC

מול הזווית הגדולה (∢C) – הצלע הגדולה (AD)

✅ פתרון סופי: BD = AD > DC

📐 משפט

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות

∢A + ∢B + ∢C = 180

📐 הגדרה

חוצה זווית: מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות

📐 משפט הפוך

אם במשולש יש שתי זוויות שוות ← המשולש שווה שוקיים (הצלעות שמולן שוות)

∢B = ∢C ⟹ AB = AC

📐 משפט

זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה

∢ACD = ∢A + ∢B

📐 משפט

במשולש: מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר (ולהפך)

📌 מה למדנו היום

📐 משפט

במשולש: מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר (ולהפך)

📐 משפט

אי־שוויון המשולש: סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית

a + b > c

📐 מסקנה

צלע שלישית: גדולה מההפרש וקטנה מהסכום

a − b < c < a + b

💡 כדי להשוות צלעות – משווים את הזוויות שמולן. כדי לבדוק אם יש משולש – שתי הצלעות הקטנות ביחד גדולות מהגדולה.

בשיעור הבא: חפיפת משולשים – משפט צ.ז.צ

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא